Vagando entre dimensiones: los fractales

Antes de comenzar me gustaría haceros un pequeño test. Responded a lo siguiente: "Cuántas dimensiones conocéis?"

1. Unas tres o cuatro.
2. Más de 10.
3. Depende del espacio de su variedad dimensional.

Si habéis respondido la 1), tranquilos, aún conserváis la cordura e inocencia de un ser humano normal y corriente. En cambio, si la 2) o la 3) han sido vuestra elección... o veis mucho The big Bang Theory o tenéis un problema (¡lo cual me gusta!Y además habríais acertado!).
Empecemos desde abajo: la dimensión 0 (¿sorpresa?) corresponde a un punto sin grosor. Los quarks, que conforman la materia hadrónica: neutrones y protones por ejemplo, poseen esta dimensionalidad. Las 3 siguientes son las típicas "ancho, alto y largo" que generan líneas, planos y volúmenes y que todo el mundo tiene en mente. La cuarta es el tiempo y las posteriores pueden interpretarse como dimensiones a escala subatómica que están enrolladas sobre sí mismas.

Pero... ¿Cómo os quedaríais si os dijera que existen objetos con, digamos, 1.25 dimensiones?


Pues bien, estos entes geométricamente extraños que se quedan a medio entre el concepto de ancho y el de largo vienen a ser lo que denominaremos fractales, del latín fractus (roto) y acuñados así por Mandelbrot a finales de los 70 (¡hace apenas 30 años!). Los fractales quedan también definidos por las sigiuentes propiedades: la autosemejanza y la autorreferencia. Y he aquí, para los ansiosos, un ejemplo visual de lo que estoy tratando de explicar.

Bonito, ¿verdad? De hecho, estoy convencido de que mucha gente (tanto gente de letras como de ciencias, ¡ojo!) tiene fondos de escritorio similares y ni sabían que se trataban de fractales. Como comentaré después, dan mucho pie a creaciones artísticas.

La autosemejanza implica la invariancia de escala, es decir, el objeto fractal presenta la misma apariencia independientemente del grado de ampliación con que lo miremos. Por más que se amplíe cualquier zona de un fractal, siempre hay la misma estructura, hasta el infinito, y aparece muchas veces el objeto fractal contenido en sí mismo. Y para muestra, un botón. Nada más con que nos fijemos un poco en la imagen de arriba nos damos cuenta de que a medida que nos acercamos a los bordes, la estructura principal se va repitiendo, cada vez más pequeña.

La autorreferencia determina que el propio objeto aparece en la definición de sí mismo, con lo que la forma de generar el fractal necesita algún tipo de algoritmo recurrente. con esta recurrencia forzamos a que se vaya repitiendo la estructura principal.

Uno de los conjuntos fractales más famosos e importantes matemáticamente es el Conjunto de Julia, que en sus formas más simplificadas, estudia la evolución de un sistema caótico dinámico mediante la iteración de funciones cuadráticas de variable compleja (¡Toma moreno con la frase explota-cerebros de turno de este post!¡Se recomienda releer!) Estas funciones tienen la forma:

f(z)= z² +c

donde "c" y "z" son números complejos. El fractal de arriba (el primero) corresponde al Conjunto de Julia y el valor del parámetro c es c=(φ-2)+(φ-1)i . ¡Sí, efectivamente, el símbolo φ corresponde al número áureo! (¡¿Armonía dentro del caos?!).
A pesar de lo sencilla que parece la fórmula, iterándola se pueden formar figuras tan complicadas como la ya vista. A partir del conjunto de Julia, si seleccionamos z=0 y representamos los puntos de la función que tengan un buen comportamiento (que sean conexos), podemos obtener el llamado Conjunto de Mandelbrot. Véase:

Cada una de las soluciones que se producen por las iteraciones, un programa de ordenador las traduce en colores, donde el color negro indica aquellas que no hacen tender a infinito la función. Programas para la creación de fractales son: el Chaoscope, Fractal Extreme, Kaoshrei, Afx100, Ultra Fractal o el Aophysis, entre otros. Este último lo podéis descargar gratuitamente de http://sourceforge.net/projects/apophysis/ ¡A divertirse creando fondos para tuescritorio! Podéis además colaborar en la galería http://apophysis.deviantart.com/

Como decía al principio, estos objetos semigeométricos poseen una dimensión fractal fraccionara, dada por la fórmula

donde N es el mínimo número de bolas de radio epsilon que haría falta para recubrir el conjunto.

Otro ejemplo muy representativo es el del "copo de nieve de Koch", que se construye de la siguiente manera:

Esta figura posee dimensión d=ln4/ln3 , que es aproximadamente d=1.26186 y un perímetro de longitud infinita, ya que siempre se podrá hacer otra iteración más y así "ampliar el contorno/frontera" de la figura. Por tanto, tenemos un perímetro de longitud infinita que encierra un cuerpo de área finita. ¡¡SORPRENDENTE como mínimo!! ¡Es quizás por eso por lo que la dimensión fractal esté a medias entre una cosa y otra!

¿Que sucedería ahora si os enseño las siguientes imágenes, correspondientes a un romanescu (izquierda) y a la hoja de un helecho (derecha)?

No os emocionéis mucho porque... siento decepcionar pero no, la naturaleza no es fractal propiamente dicha. Pero... si no existen objetos fractales en la vida real... ¿qué utilidad van a tener? ¿Para qué me puede servir saber lo que es un fractal? Pues, queridos lectores, aquí es donde entra en juego el chiste de las vacas esféricas en el vacío ya que, aunque no se trate de fractales como tal, SÍ que se puede decir que presenta dicho comportamiento, y entonces puede ser estudiada a partir de éstos. Al igual que ni las vacas son esféricas ni están pastando en el vacío... pero si con esa "aproximación a la realidad" los cálculos nos sirven y nos permiten avanzar sin complicaciones... pues adelante. Con esta mentalidad se pueden estudiar tanto las redes capilares ramificadas del sistema venoso hasta la estructura a gran escala del universo (sistemas - galaxias - cumulos - hipercumulos).

Y aquí es cuando vemos que surgen aplicaciones tan extravagantes y artísticas como el componer música (con programas como MusiNum, Gingerbread o The Well Tempered Fractal) o el montarte toda una galería de arte o aplicaciones en medicina tan útiles y prometedoras como la detección anticipada de tumores cancerígenos. Científicos austriacos han descubierto que el cáncer se comporta según las reglas del caos y un campo en el que se ha experimentado con fractales ha sido el cardiológico, en el que han descubierto que el tejido de los corazones predispuestos a manifestar una lesión tienen una dimensión fractal más elevada de los que no.
Como aplicación curiosa, cabe decir que se ha utilizado el estudio fractal para determinar el perímetro geográfico de Gran Bretaña (¡también el de la separación Portugal-España!). Podéis ver el estudio completo en http://users.math.yale.edu/~bbm3/web_pdfs/howLongIsTheCoastOfBritain.pdf Básicamente dice que "si queremos medir con la mayor precisión cada irregularidad de la costa, debemos usar reglas para medir cada vez más y más pequeñas... por qué no hacer el estudio aproximando dichas irregularidades en las fronteras como el contorno de un fractal"?

Y por último... dedicado a ciertas personillas... mi debilidad: me he enterado de que existe un programa llamado Terragen 2 que genera escenarios y paisajes en 3D mediante fractales (para ir detallando texturas infinitamente hasta conseguir la perfeccion, a medida que hacemos zoom). Pues bien, con ese programa han generado los paisajes exteriores de la excelente última película de Zack Snyder, "Sucker Punch". Lo único que se me ocurre decir es " BRAVO. FANTÁSTICO".

Una vez más, se le ha hecho un interrogatorio intelectual a las matemáticas y se le ha podido sacar toda la belleza que pueden ocultar. ¿En serio que todavía hay gente a la que no les gustan las matemáticas?

Un saludo a todos.
Faraday.

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Escribiendo entre la dimensión 1 y la 2.